SISTEM NUMERASI

BAB 1. PENDAHULUAN

SISTEM NUMERASI

A.     LATAR BELAKANG

Sejak zaman purbakala, tidak dapat dipungkiri lagi bahwa pendidikan matematika sangat diperlukan dan telah menyatu dalam kehidupan manusia dan merupakan kebutuhan dasar dari setiap lapisan masyarakat, dalam pergaulan hidup sehari-hari. Mereka membutuhkan matematika untuk perhitungan sederhana. Untuk keperluan tersebut diperlukan bilangan-bilangan. Sistem numerasi pun berkembang selama berabad-abad dari masa ke masa hingga saat ini.

Pengertian Sistem Numerasi

Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan.

Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan.

Beberapa konsep dalam sistem numerasi:

1.      Aturan Aditif

Tidak menggunakan aturan tempat dan nilai dari suatu lambang didapat dari menjumlah nilai lambang-lambang pokok. Simbolnya sama nilainya sama dimanapun letaknya.

2.      Aturan pengelompokan sederhana

Jika lambang yang digunakan mempunyai nilai-nilai n⁰, n¹, n²,… dan mempunyai aturan aditif

3. Aturan tempat

Jika lambang-lambang yang sama tetapi tempatnya beda mempunyai nilai yang berbeda

4. Aturan Multiplikatif

Jika mempunyai suatu basis (misal b), maka mempunyai lambang-lambang bilangan 0,1,2,3,..,b-1 dan mempunyai lambang untuk b², b³, b⁴,.. serta mempunyai aturan tempat.

 

BAB 2. PEMBAHASAN

1.      Sistem Numerasi Hindu-Arab (±300SM- 750 M)

Sistem Hindu-Arab mengalami banyak perubahan yang dipengaruhi oleh penggunaannya di Babilonia dan Yunani. Baru sekitar tahun 750 sistem Hindu-Arab berkembang di Bagdad. Bukti sejarah hal ini tertulis dalam buku karangan matematisi arab yang bernama Al-Khawarizmi yang berjudul Liber Algorismi De Numero Indorum.

             Sistem numerasi Hindu-Arab ini juga disebut dengan sistem numerasi decimal (Ruseffendi, 1984). Dan menurut Troutman & Lichtenberg (1991) sistem numerasi Hindu-Arab ini mempunyai karakteristik:

      (1)  Menggunakan sepuluh macam angka yaitu 0 sampai dengan 9;

      (2)  Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh.

      (3)  Menggunakan sistem nilai tempat.

 (4)  Menggunakan sistem penjumlahan dan perkalian.

     Angka merupakan lambang bilangan Hindu-Arab

Sifat-sifat:

             Menggunakan 10 angka / digit yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

            Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh. Artinya setiap sepuluh satuan dikelompokkan menjadi satu puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya.

       Bilangan-bilangan yang lebih besar daripada 9 dinyatakan sebagai bentuk suku-suku yang merupakan kelipatan dari perpangkatan 10.

Antar suku dipisahkan oleh tanda plus ( + ).

Misalnya :  10 = 1x10¹+0x10⁰

                   205= 2x10²+0x10¹+5x10⁰

 Menggunakan aturan tempat

 Contoh: 1.234

1 = ribuan

2 = ratusan

3 = puluhan

4 = satuan

2.      Sistem Numerasi Romawi (±100 SM)

Bangsa Romawi menggunakan angka-angka untuk perhitungan- perhitungannya. Lambang bilangan Romawi ditulis menggunakan huruf besar yang sejalan dengan pemikiran orang-orang Yunani. Pada zaman dahulu, orang Romawi Kuno menggunakan penomeran tersendiri yang berbeda dengan sistem penomeran pada jaman sekarang. Angka romawi hanya terdiri dari 7 nomor dengan simbol huruf  tertentu di mana setiap huruf melambangkan/memiliki arti angka tertentu.

I = 1, I disebut UNUS

V = 5 , V disebut QUINQUE

X = 10, X disebut DECEM

L = 50, L disebut QUINQUAGINTA

C = 100, C disebut CENTUM

D = 500

M =1000          

4        prinsip yang digunakan

1.      Pengulangan

              Angka yang boleh diulang adalah I , X ,C , M ( tidak boleh diulang lebih dari 3x

              Contoh :

              20 = XX , 3 = III 

                4 ≠ IIII tetapi 4 = IV

             100 ≠ LL tetapi 100 = C

 1 = I                                                   C = 100

             2 = II                                                CC = 200

             X = 10                                                M = 1000

 XX = 20                                          MM = 2000

2.      Penjumlahan

            Jika suatu angka diikuti oleh angka yang lebih kecil, maka nilai angka yang lebih kecil menambah nilai angka sebelumnya .

Yang boleh mengikuti adalah angka ( I, V, X, L , C , D )

Contoh :         

VI  = 5  + 1     = 6

VII = 5  + 1 + 1 = 7

XI  = 10 + 1     = 11

XII = 10 + 1 + 1 = 12

LX  =   50 +  10 = 60

XVI =   10 +   6 = 16

CL  =   10 +  50 = 60

DC  =  500 + 100 = 600

MD  = 1000 + 500 = 1500

Penjumlahan 3 angka:

VIII =  5 + 1 + 1 + 1 = 8

XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13

3.       Pengurangan

             Jika angka yang lebih kecil mendahului nilai angka yang lebih besar,                                                 maka nilai angka yang lebih kecil mengurangi nilai angka yang lebih besar

Contoh :

IX = 9, CM = 900

49 ≠ IL tetapi 49 = XLIX

999 ≠ IM tetapi 999 = CMXCIX

IV =  5 - 1    = 4

IX = 10 - 1    = 9

XL = 50 - 10   = 40

XC = 100 - 10  = 90

CD = 500 - 100 = 400

CM = 1000 - 100= 900

4.      Sistem Gabungan

            Cara penulisan bilangan romawi adalah dengan menggunakan sistem gabungan domana didalam penulisannya menggabungkan antara penjumlahan dan pengurangan bilangan romawi.

contoh :

CXLIX        = 100 + (50-10) + (10-1) = 149

XXIV           = 10 + 10 + (5-1) = 24

CMXCVIII = (1000 - 100) + (100-10) + 8 = 998

3.      SISTEM LAINNYA

A.    SISTEM YUNANI KUNO

1.      Sistem numerasi Yunani Kuno Alfabetik

         Alfabet Yunani adalah script yang telah digunakan untuk menulis bahasa Yunani sejak abad ke-8 SM. Dalam bentuk yang klasik dan modern itu terdiri dari 24 huruf memerintahkan secara berurutan dari alfasampai omega. Alfabet Yunani adalah berasal dari awal alfabet Fenisia, dari mana ia berbeda dengan menjadi abjad pertama yang menyediakan  representasi penuh satu simbol ditulis per suara baik untuk konsonan dan vokal. Selain digunakan untuk menulis Yunani,
baik kuno dan modern, huruf dari alfabet Yunani saat ini digunakan sebagai simbol teknis dan label di banyak domain matematika, ilmu pengetahuan dan bidang lainnya.

Aturan Penulisan

1.      Bilangan yang terdiri dari 2 digit yaitu dengan menjumlahkan angka puluhan dengan satuan

Contoh : 23 = 20 + 3

2.      Bilangan yang terdiri dari 3 digit yaitu dengan menjumlahkan ratusan, puluhan dan satuan.

Contoh : 174 = 100 + 70 + 4

                                  =

3.      Bilangan yang terdiri dari 4 digit atau 1000 yaitu dengan menambahkan tanda aksen ( ` )

Contoh : 10.000 =

               3534 = 3000 + 500 + 30 + 4

                        =

4.      Bilangan yang terdiri dari 5 digit dengan menambahkan huruf M.

Contoh : 10.000 à

               10.001 à

               23.734 = 20.000 + 3000 + 700 + 30 + 4

                           =

B.      SISTEM NUMERASI MAYA

Peradaban Maya telah menetap di wilayah Amerika Tengah dari sekitar 2000 SM, meskipun yang disebut sebagai Periode Klasik membentang dari sekitar 250 SM sampai 900 SM. sistem ini mempunyai dua perbedaan yang signifikan dibandingkan dengan sistem yang kita gunakan sekarang, yaitu

1) nilai tempat disusun secara menegak, dan

2) menggunakan basis 20 (vigesimal).

Contoh soal : 20 = ( 1 x 20 ) + 0                        159 = ( 7 x 20 ) + 19

                            =                                                    =

                        28 = ( 1 x 20 ) + 8                       172 = ( 8 x 20 ) + 12                       

                            =                                                    =

                        30 = ( 1 x 20 ) + 10                     232 = ( 10 x 20 ) + ( 1 x 20 ) + 12

                            =                                                    =

C.     SISTEM NUMERASI CINA

Bangsa Cina menuliskan angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit dimana bentuknya menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai nilai seni tinggi. Sistem angka Cina disebut dengan sistem “batang”.

Lalu angka 100, 1000, 10000 berikut adalah daftarnya:

Dalam aturan Mandarin, pemenggalan bilangan nol atau digit hingga 4 digit. Maksudnya, kalau dalam Bahasa Indonesia, karena pemenggalan bilangan nol-nya hingga 3 digit, maka 10,000 disebut “Sepuluh Ribu (Sepuluh-Seribu)”. Dalam Bahasa Mandarin, 10,000 bukan 十千 (Shíqiān), melainkan 一萬 (Yī wàn). Kemudian untuk 100,000 barulah bisa dipenggal bilangan digit-nya sehingga 100,000 dalam Bahasa Mandarin disebut 十萬 (Shí wàn). Kemudian seperti table diatas, untuk 8 digit angka nol, Bahasa mandarin memiliki karakter tersendiri, yaitu 億 (Yì)

contoh :

1.      90                    :

2.      234                  :

3.      8.792               :

4.      23.786             :

5.      3.000.897        :

BAB 3. PENUTUP

 A.  KESIMPULAN

Konsep bilangan dan pengembangannya menjadi sistem angka muncul jauh sebelum adanya pencatatan sejarah, sehingga evolusi dari sistem itu hanyalah merupakan dugaan semata.

Sistem numerasi yang pertama-tama digunakan adalah sistem ijir (tallies) yang didasarkan pada penghitungan korespondensi satu-satu. Kemudian seiring dengan perkembangan peradaban manusia, kebutuhan akan bilangan dan angka yang semakin kompleks menyebabkan manusia mengembangkan berbagai sistem numerasi yang berlaku di beerbagai belahan dunia, seperti Maya (Amerika Tengah), Yunani, Cina, dan Romawi.

Sistem numerasi yang digunakan sekarang ini merupakan sistem numerasi yang merupakan perpaduan antara numerasi Hindu dan Arab. Sistem ini tetap bertahan karena dianggap masih mampu memenuhi kebutuhan angka manusia modern.